SPP 2026 - Teilprojekt: Dualität und die grobe Assemblyabbildung

Grunddaten zu diesem Projekt

Beschreibung

Die grobe Koassemblyabbildung wurde von Emerson und Meyer als Duales zur groben Assemblyabbildung eingeführt. Diese zwei Abbildungen sind bezüglich kanonischer Paarungen zueinander adjungiert. Der Hauptzweck unseres Projektes ist, diese Dualität weiterzuentwickeln, indem wir Analoga der aus der algebraischen Topologie bekannten multiplikativen Stukturen wie Cup- und Cap- sowie externe und Schrägprodukte untersuchen. Einige dieser multiplikativen Strukturen lassen sich direkt durch Diracoperatoren und Vektorbündel interpretieren und führen so zu neuen Anwendungen in Indextheorie und geometrischer Topologie. Zusätzlich werden wir grobe Versionen bekannter Resultate aus der algebraischen Topologie entwickeln, welche auf multiplikativen Strukturen aufbauen. Allen voran werden wir eine grobe Version der Poincarédualität untersuchen.Darüber hinaus werden wir in gewissen Fällen auch der Frage nachgehen, ob die groben Assembly- und Koassemblyabbildungen Isomorphismen sind. Dabei legen wir unseren Fokus insbesondere auf Räume, die eine gutartige Kompaktifizierung zulassen, welche aus grobgeometrischen Abwandlungen von Zusammenziehungen oder allgemeiner Deformationsretraktionen konstruiert wurden. Solche groben Deformationsretraktionen liegen auch im Herzen der Konstruktion sekundärer Cup- und Capprodukte und stellen so die Verbindung zwischen den beiden Hauptaspekte unseres Projektes her.