Geometrische und kombinatorische Konfigurationen in der Modelltheorie (GeoMod)

Grunddaten zu diesem Projekt

Beschreibung

GeoMod ist ein kooperatives internationales Forschungsprojekt von Wissenschaftlern aus Deutschland und Frankreich. Die aktuelle modelltheoretische Forschung untersucht abstrakte Eigenschaften mathematischer Strukturen aus der Perspektive der Logik erster Stufe. Dabei werden kombinatorische Eigenschaften definierbarer Mengen wie das Vorhandensein bestimmter Konfigurationen oder Rangfunktionen untersucht. Diese werden dann benutzt, um Schlussfolgerungen über die Struktur ziehen zu können. Die zugrundeliegende Struktur kann dabei von algebraischer oder geometrischer Natur sein, spezifische Kontexte sind etwa Berkovichgeometrie, differenz- oder differentielle algebraische Geometrie, additive Kombinatorik oder Erdősgeometrie. Ein zentrales Beispiel, in dem sich aus einer kombinatorischen Konfiguration algebraische Struktur ergibt, ist der Satz über die Gruppenkonfiguration. Dieser besagt, dass gewisse kombinatorische oder dimensionstheoretische Muster nur bei Existenz einer Gruppenstruktur zustande kommen und dass zudem die Klasse der Gruppen, aus denen man solche Konfigurationen erhalten kann, sehr beschränkt ist. Dieses Resultat, welches Koordinationssätze aus der geometrischen Algebra verallgemeinert, wurde von Hrushovski 1986 in seiner Doktoarbeit bewiesen. Seitdem hat es sich als eines der mächtigsten Werkzeuge in geometrischer Stabilitätstheorie erwiesen und wurde erfolgreich auf offene Probleme in der Klassifikationstheorie und im Beweis der Trichotomie für Zariskigeometrien angewendet.  Insbesondere war es die entscheidende Zutat in den Beweisen der Funktionenkörpervariante der Mordell-Lang Vermutung und der Zahlkörperversion der Manin-Mumford Vermutung. Seit kurzem spielt der Satz über die Gruppenkonfiguration auch eine zentrale Rolle in Anwendungen in der Kombinatorik, etwa in der Arbeit von Bays und Breuillard zu Verallgemeinerungen des Satzes von Elekes-Szabó. Die modelltheoretische Untersuchung von bewerteten Körpern ist ein weiteres Beispiel des Zusammenspiels von “reiner” Stabilitätstheorie und “angewandter” algebraischer Modelltheorie. Abraham Robinson hat im Jahr 1959 gezeigt, dass ACVF (die Theorie algebraisch abgeschlossener nicht-trivial bewerteter Körper) der Modellbegleiter der Theorie der bewerteten Körper ist. Das Studium von ACVF war bis knapp 50 Jahre nach Robinson ausschließlich von “angewandter” Natur und nahezu disjunkt von den Entwicklungen in Stabilitätstheorie in “reiner” Modelltheorie. Als jedoch Haskell, Hrushovski und Macpherson begannen, Imaginäre (Quotienten definierbarer Mengen modulo definierbarer Äquivalenzrelationen) in bewerteten Körpern zu untersuchen, entdeckten sie die Theorie stabiler Domination, wodurch die reine und die angewandte Strömung miteinander verbunden wurden. Die tiefen Zusammenhänge zwischen dem reinen und dem angewandten Zugang in der Theorie der bewerteten Körper zeigen sich auch deutlich im Ansatz von Hrushovski-Loeser zu nichtarchimedischer Geometrie, in dem Berkovichräume durch Räume stabil dominierter Typen ersetzt werden. Unser Projekt rankt sich um die drei Themen: Erstens wollen wir die noch recht frische Interaktion zwischen Modelltheorie und Kombinatorik festigen. Zweitens möchten wir die Modelltheorie bewerteter Körper, ein Themengebiet, das traditionell sowohl in Frankreich als auch in Deutschland stark vertrenen ist, mit Methoden aus der geometrischen Stabilitätstheorie (und Neostabilitätstheorie) weiter entwickeln. Schließlich planen wir eine abstrakte Untersuchung der geometrischen und kombinatorischen Konfiguationen, die in den anderen beiden Gebieten ein so wichtiges Werkzeug darstelllen.